分岔的动力学解释

发布网友 发布时间：2024-10-24 14:30

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热心网友 时间：2024-10-31 09:24

bifurcation
动力学系统的参量值跨越临界值（分叉值）所导致稳定定常状态定性变化的现象。又称分叉。这术语是19世纪末H.庞加莱研究天体起源时引进的。一团旋转流体角速度ω有一分叉值ω*，在ω>ω*情况中，液体有一稳定平衡态(形状)，而在ω<ω*情况中，这个平衡态失去稳定性 ，液体最终趋于另一稳定平衡态，这一分岔现象可用以解释天体某种形状的起源。力学中研究过的最早的分岔例子是18世纪L.欧拉考虑的细压杆屈曲。如取轴向力大小P 为参量，欧拉临界力P * 是一分岔值。在PP *情况下，它失去稳定性，细杆有两个新的稳定平衡态，它最终将趋于其中的一个（向一侧弯曲）。
动力学系统的稳定定常状态除平衡态外，还有周期态即振动，以及略为复杂些的准周期态。参量跨越分岔值（无论由大到小或由小到大）有时引起系统（ 稳定）平衡态换成（稳定）周期态（或相反由周期态到平衡态），这种分岔20世纪30 年代A.A.安德罗诺夫在分析自激振动中详细研究过，但在文献中通常称为E.霍甫分岔（40年代）。
60年代以后的研究表明，动力学系统的稳定定常态除平衡、周期、准周期各态外，更可能是另一种——混沌态，即确定性系统由于初态敏感性而产生的随机状态。因而在一般意义的分岔现象中，系统参量跨越分岔值导致系统中定态的转化可能是多种多样的：一种平衡到另一种平衡，振动到混沌，准周期到混沌，混沌到准周期，甚至混沌到另一种混沌，等等。与混沌出现有关的分岔称为同宿分岔。流体动力学中的湍流是比混沌更为复杂的运动状态。流体流动中由层流向湍流的转捩可以用分岔理论得到部分解释。

以一维系统为例：　　1） 鞍点分岔（saddle-node bifurcation)