三角形ABC中,角B等于60°,AD、CE分别是角BAC,角BCA的角平分线,且交于F...

发布网友 发布时间：2024-10-24 14:59

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热心网友 时间：2024-11-06 02:24

∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=120°

∴∠FAC+∠FCA=60°，∴∠EFD=∠AFC=120°

∵∠B+∠EFD=180°，∴B、D、F、E四点共圆

连结BF，则BF平分∠ABC，

∴EF=DF（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等）

热心网友 时间：2024-11-06 02:25

解：FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中， AG=AE ∠1=∠2 AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1 /2 ∠BAC，∠3=1/ 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1 /2 （∠BAC+∠ACB）=1/ 2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中， ∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4 ，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；
证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1/ 2 ∠BAC，∠3=1/ 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1/ 2 （∠BAC+∠ACB）=1 /2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中， ∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH ，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
望采纳，谢谢