...A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点M,N分别为A1...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:20

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热心网友 时间：2024-11-08 19:06

（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABB1A1，AB?平面AA1B1B，AA1∩AB=A，
∴AC⊥平面AA1B1B，…（1分）
A1M?平面AA1B1B∴A1M⊥AC．…（2分）
又∵四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，
∴A1M⊥MA…（3分）
AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A1M⊥平面MAC…（5分）
证法二：在Rt△BAC中，BC＝AB2+AC2＝22+22＝22
在Rt△A1AC中，A1C＝A1A2+AC2＝22+22＝22．
∴BC=A1C，
即△A1CB为等腰三角形．…（1分）
又点M为A1B的中点，∴A1M⊥MC．…（2分）
又∵四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，
∴A1M⊥MA…（3分）AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC…（4分）
∴A1M⊥平面MAC…（5分）
（2）由（1）的证明可得：
三棱锥A-CMA1的体积VA?CMA1＝VC?AMA1＝13×S△AMA1×CA…（7分）=13×12×2×1×2…（8分）
=23．…（9分）
（3）证法一：连接AB1，AC1，…（10分）
由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴MN∥AC1．…（11分）
又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，…（13分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（14分）
证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，…（10分）
而M，P分别为AB1与A1B1的中点，
∴MP∥AA1，MP?平面A1ACC1，AA1?平面A1ACC1，
∴MP∥平面A1ACC1，
同理可证NP∥平面A1ACC1…（11分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A1ACC1．…（12分）
∵MN?平面MNP，…（13分）
∴MN∥平面A1ACC1．…（14分）