a为奇数,a,b互质,(a+b√2)^n=c+d√2,试证明c,d互质——京都大学2009年高...

发布网友发布时间：2024-10-23 18:02

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热心网友时间：2024-11-06 11:29

已知条件为 a 为奇数，且 a, b 互质，设(a + b√2)^n = c + d√2。需要证明 c, d 互质。

先证明 a^n 和 b^n 互质。由于 a 为奇数，且 a 和 b 互质，所以 a^n 和 b^n 也互质。

再看 (a + b√2)^n 的形式。由于 n 为任意整数，该式可以展开为多项式形式，其中 a^n 和 b^n 的项的系数分别对应 c 和 d 的值。

因为 (a + b√2)^n 是有理数加无理数的形式，所以 c 和 d 都是有理数。如果 c 和 d 有公约数 p，则 p 也能整除 a^n 和 b^n，这与 a^n 和 b^n 互质的假设矛盾。

综上所述，c 和 d 互质，证明完成。

对于第二问，假设 (a + b√2)^n = c + d√2，其中 n 为任意整数。根据第一问的证明，我们知道 c 和 d 互质。对于 (a + b√2) 的翻倍情况，即 2n，同样可以得到 c 和 d 互质。

考虑更一般情况，即 k*n，其中 k 为任意正整数。根据数学归纳法原理，对于任意 k，c 和 d 互质都成立。证明过程类似于第一问，只需要将 n 替换为 k*n。

对于一般的 a 的整数次幂的 c 和 d，可以通过找到比 n 更大的整数次幂，并反向使用归纳法完成证明。

以上证明过程体现了反向归纳法的思想，通过证明反命题来解决问题，是一种新颖的证明策略。

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