怎样快速证明一个函数收敛和有界?

发布网友 发布时间：2022-04-24 14:13

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热心网友 时间：2023-10-15 21:29

证明收敛数列的有界性，只需要证明该数列的任何一项都落在一个固定的范围。

数列X1,X2,X3一直到Xn都落在一个固定的范围。

可以用数学语言表示为

|Xn|<M

已经知道该数列收敛，

则有|Xn-a|<ε，

则有-ε<Xn-a<ε，

则有-ε+a<Xn<ε+a,

又有若数列有界的数学语言为

|Xn|<M

则有-M<Xn<M,

则该范围存在，

为{-ε+a,ε+a}。

同时需要注意，数列有界，和数列收敛，发散之间的关系。

数列如果无界，则数列一定发散。

数列如果发散，数列不一定无界。比如(-1)^(n+1)。

数列如果有界，数列不一定收敛。比如(-1)^(n+1)。

数列如果收敛，则数列一定有界，上面就是证明。

数列无界，则数列不可能无限接近一个数值。则不可能收敛，则一定发散。因为当数列无限接近一个数值的时候，就存在了极限。同时这个极限周围，存在一个固定的范围，让数列项落在此处，落在该极限值的周围，无限的靠近。

热心网友 时间：2023-10-15 21:29

我弱弱的回答一下我遇到有界的证明方法：
1.用定义求。2.求函数单调性，然后求极值和最值，最后求函数极限，判断函数是否有上下界。这是我遇到有界的方法，也很局限望高手来补充！

热心网友 时间：2023-10-15 21:30

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设数列{a[n]}收敛于a，由定义知存在正整数M，使得当n>M时|a[n]-a|<1，回或者说a-1<a[n]<a+1
于是答min{a[1]，a[2]，...，a[M]，a-1}<=a[n]<=max{a[1]，a[2]，...，a[M]，a+1}，即{a[n]}有界。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。



扩展资料：

数列有极限的必要条件：数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。