数量积的证明,帮忙证明下

发布网友 发布时间：2022-04-24 14:15

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热心网友 时间：2023-10-15 23:08

按照定义实质上是计算a向量到b向量投影与b向量到b向量投影（自身对自身的投影）的乘积。所以是个数量。

平面上：设a向量和x轴的夹角为A，b向量和y轴的夹角为B，则a向量在x,y轴的分向量分别为cosAa，sinAa,同理b向量cosBb，sinBb

分向量cosAa在x轴的投影是PrjxcosAa=cosA∣a∣,在y轴的投影是PrjycosAa=0,分向量sinAa在x轴的投影是PrjxsinAa=0,在y轴的投影是PrjysinAa=sinA∣a∣，分向量cosBb,sinBb关于自身的投影是cosB∣b∣,sinB∣b∣

a*b=cosA∣a∣*cosB∣b∣+0*sinB∣b∣+sinA∣a∣*sinB∣b∣+0*cosB∣b∣=∣a∣∣b∣*(cosAcosB+sinAsinB),通过单位圆证得余弦差角公式（几何非向量方法）得到=∣a∣∣b∣*cos(A-B),A-B即夹角，从而平面上得证。

实际上往往坐标点往往是已知的，把上面的三角函数换成坐标点，即取cosA∣a∣，sinA∣a∣，cosB∣b∣,sinB∣b∣分别为x1,y1,x2,y2,即立马所得x1*x2+y1*y2即坐标法，仔细观察，三角函数和坐标点是一一对应的。

立体上坐标法好证，a分向量为a1，a2，a3，b分向量为b1，b2，b3，按投影相乘相加就是x1*x2+y1*y2+z1*z2

∣a∣∣b∣*cos(A-B)立体上暂时证不出。但可以转置成平面。

有个算不是很完善的证法是：转置坐标系，化a,b为同一平面，根据平面法已得到的结论，a*b=∣a∣∣b∣*cos(A-B),从而也得到论证。而夹角也是完全可以根据已知的a,b，根据平行四边形法则或三角形法则，求得第三边，从而三边已知的情况下根据推出的余弦公式求得。

事实上，只有有坐标，通过向量法，所有都是满足已知条件可求的答案，包括大部分夹角，距离大小等等。

事实上转置坐标系也就是取不同的基底，所以按照基底法则，取的基底不同，答案也有无限个，但我们最习惯于常态的基底表示。如果一定要加一个，其实要像定积分加个C一样符号出来，但是暂时不知道如何表示。比如理论上坐标系也是无数个的存在，只不过是按需所选取不同的坐标系。

热心网友 时间：2023-10-15 23:09