数量积公式是怎么推出来的?

发布网友 发布时间：2022-04-24 14:15

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热心网友 时间：2022-06-08 11:36

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a
×
b
=
|a|·|b|·sin<a,
b>.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a
×
b
=
-
b
×
a.
这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·(b
+
c)
=
a·b
+
a·c,
(a
+
b)·c
=
a·c
+
b·c.
这由内积的定义a·b
=
|a|·|b|·cos<a,
b>，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,
b,
c的混合积，容易证明：
i)
(a×b)·c的绝对值正是以a,
b,
c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,
b,
c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：
ii)
(a×b)·c
=
a·(b×c)
所以我们可以记a,
b,
c的混合积为(a,
b,
c).
由i)还可以推出：
iii)
(a,
b,
c)
=
(b,
c,
a)
=
(c,
a,
b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)
若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,
a2,
a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b
+
c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b
+
c))
=
(r×a)·(b
+
c)
=
(r×a)·b
+
(r×a)·c
=
r·(a×b)
+
r·(a×c)
=
r·(a×b
+
a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b
+
c)
-
(a×b
+
a×c))
=
0
这说明矢量a×(b
+
c)
-
(a×b
+
a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b
+
c)
-
(a×b
+
a×c)
=
0
所以有
a×(b
+
c)
=
a×b
+
a×c.
证毕。
参考资料：《空间解析几何引论》（第二版），南开大学《空间解析几何引论》编写组